费马平方和定理

费马平方和定理:奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。第一步

“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。”

第一步的*是婆罗摩笈多,斐波那契恒等式的一种:

而若将与?互换位置，即可得。第二步

“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。”

上海水磨工作室假设a^2+b^2能被p^2+q^2整除，且后者为素数。则p^2+q^2能整除

上海水磨工作室:(pb-aq)(pb+aq)=p^2b^2-a^2q^2=p^2(a^2+b^2)-a^2(p^2+q^2).

上海水磨工作室由于p^2+q^2是素数，因此它能整除两个因子之一。假设它能整除pb-aq。由于

:(a^2+b^2)(p^2+q^2)=(ap+bq)^2+(aq-bp)^2\,

上海水磨工作室可推出p^2+q^2能整除(ap+bq)^2。于是等式能被p^2+q^2的平方整除。两边除以(p^2+q^2)^2得:

上海水磨工作室因此其商能表示为两个平方数之和。

如果p^2+q^2能整除pb+aq，则利用等式

上海水磨工作室同样可*。

第三步

“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。”

上海水磨工作室假设x能整除a^2+b^2，且其商的分解式为p_1p_2\cdotsp_n。则a^2+b^2=xp_1p_2\cdotsp_n。如果所有的因子p_i都能表示为两个平方数之和，则我们可以用p_1、p_2、等等去除a^2+b^2，并使用第二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。除到只剩x的时候，可得x也能表示为两个平方数之和，矛盾。因此，如果x不能表示为两个平方数之和，则至少有一个素数p_i也不能表示为两个平方数之和。

第四步

上海水磨工作室“如果a和b互素，则a^2+b^2的所有因子都能表示为两个平方数之和。”

上海水磨工作室这一步用到了无穷递降法。设x是a^2+b^2的一个因子。可记

:a=mx\pmc,\qquadb=nx\pmd

其中c和d的绝对值最多不超过x的一半。可得:

a^2+b^2=m^2x^2\pm2mxc+c^2+n^2x^2\pm2nxd+d^2=ax+(c^2+d^2).

因此，c^2+d^2一定能被x整除，设c^2+d^2=yx。如果c和d不互素，则它们的[[最大公约数]]与x互质(否则它就能整除a和b，与我们假设它们互素矛盾〕。因此它们的最大公约数的平方能整除y(因为它能整除c^2+d^2)，于是我们得到e^2+f^2=zx，其中e和f互素，且z不超过x的一半，这是因为

如果c和d互素，则我们可直接使用c和d，不必转换成e和f。

上海水磨工作室如果x不能表示为两个平方数之和，则根据第三步的结论，可知必有一个z的因子不能表示为两个平方数之和;设它为w。于是我们从x推出了一个更小的整数w，都不能表示为两个平方数之和，但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数整除。由于这个无穷递降是不可能的，因此x一定能表示为两个平方数之和。

第五步

上海水磨工作室“任何形为4n+1的素数都能表示为两个平方数之和。”

如果p=4n+1，则根据费马小定理可得

上海水磨工作室被p除都余1。因此它们的差2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}都能被p整除。这些差可分解为a^{4n}-b^{4n}=(a^{2n}+b^{2n}/(a^{2n}-b^{2n}.

由于p是素数，它一定能整除这两个因子之一〔以下称它们为“和因子”和“差因子”〕。如果它能整除任何一个“和因子”，则根据第四步的结论可得p能表示为两个平方数之和〔由于a和b仅相差1，它们必然互素〕。而如果它能整除所有的4n-1个“差因子”

上海水磨工作室，则它也能整除4n-2个一阶差、4n-3个二阶差，依此类推。由于数列1^k,2^k,3^k,\dots

的第k阶差都等于k!，于是第2n阶差都等于(2n)!，显然它不能被p整除。因此，p不能整除所有的“差因子”，得*p能表示为两个平方数之和。

拉格朗日四平方和定理

上海水磨工作室拉格朗日四平方和定理:每个正整数均可表示为4个整数的平方和。

1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个着名的恒等式:

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数和能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为*原命题只需*每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

上海水磨工作室1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数，同余方程

必有一组整数解满足(引理)。

上海水磨工作室至此，*四平方和定理所需的全部引理已经全部*完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年做出最后的*。

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需*质数可以表示成四个整数的平方和即可。

上海水磨工作室，因此只需*奇质数可以表示成四个整数的平方和。

根据引理一，奇质数p必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为。又从引理可知。

*m0不会是偶数

上海水磨工作室设是偶数，且。由奇偶*可得知必有两个数或四个数的奇偶*相同。不失一般*设的奇偶*相同，的奇偶*相同，

均为偶数，可得出公式:

是正整数使得假设可以表示成四个整数的平方和不符。

*m0=1

现在用反*法*。设。

上海水磨工作室不可整除xj的最大公因子，否m0^2可整除m0p，则得m0是p的因子，但1

0

下面*m1p可以表示成四个整数的平方和，从而*假设。用四平方和恒等式令?zi^2=?yi^2*?xi^2，可知zj是m0的倍数，令zj=m0tj,

?zi^2=?yi^2*?xi^2m0^2?ti^2=m0m1m0p?ti^2=m1p

引理的*

将和为的剩余系两个一组的分开，可得出组，分别

为。

将模的二次剩余有个，分别为。

若是模的二次剩余，选取使得

上海水磨工作室则，定理得*。若不属于模的二次剩余，则剩下

上海水磨工作室组，分别为，而模p的二次剩余仍有(p+1)/2个，由于(p+1)/2>(p-1)/2，根据抽屉原理，存在

第2篇：费马定理

费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所着《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所着〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax2+1=Y2整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。

上海水磨工作室着名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”1665年这一定理提出后，引起了许多着名数学家的关注，至今尚在研究如何*它的成立，但始终毫无结果。

费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。

几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反*的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折*进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折*定律。费马则是用数学方法*了折*定律的主要学者之一。

费马原理是根据经济上海水磨工作室原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。

费马定理不但是正确的，同时它与光的反*定律和折*定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。

费马（Pierre?de?Fermat,1601--1665）法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。

第3篇：和平！和平！

和平是战争的克制者

和平是人们过上好日子所需的环境，

和平能使人们幸福，

上海水磨工作室和平能使人们快乐。

上海水磨工作室和平使全家生活美满，

和平使全世界*欢呼。

和平是辉煌着的太阳，

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上海水磨工作室和平犹如人的心胸那么宽广，

上海水磨工作室和平犹如一盆纯洁的水，为我们洗去旧的生活，

上海水磨工作室和平是一株植物，为我们制造出新鲜的空气，

上海水磨工作室和平是海港的灯塔，为我们指引美好生活的方向。

和平是纯洁、美好的象征，

和平带我们走向美好生活。

让我们祈祷——几十年后的22世纪，

成为一个美好的快乐世纪。