1。排列及计算公式

上海水磨工作室从n个不同元素中，任取m（mn）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p（n，m）表示。

上海水磨工作室p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n!/（n—m）!（规定0!=1）。

上海水磨工作室2。组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c（n，m）表示。

c（n，m）=p（n，m）/m!=n!/（（—m）!*m!）；c（n，m）=c（n，n—m）；

3。其他排列与组合公式

上海水磨工作室从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p（n，r）/r=n!/r（n—r）!。

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，。。。nk这n个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*。。。*nk!）。

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k—1，m）。

排列（pnm（n为下标，m为上标））

上海水磨工作室pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；pnm=n!/（n—m）!（注：!是阶乘符号）；pnn（两个n分别为上标和下标）=n!；0!=1；pn1（n为下标1为上标）=n

组合（m（n为下标，m为上标））

上海水磨工作室m=pnm/pmm；m=n!/m!（n—m）!；n（两个n分别为上标和下标）=1；1（n为下标1为上标）=n；m=n—m

上海水磨工作室2008—07—0813：30

上海水磨工作室公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列。公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列。n—元素的总个数r参与选择的元素个数!—阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从n倒数r个，表达式应该为n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；

因为从n到（n—r+1）个数为n—（n—r+1）=r

举例：

q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

上海水磨工作室a1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于排列p计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9—1种可能，个位数则应该只有9—1—1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=p（3，9）=9*8*7，（从9倒数3个的乘积）

q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表三国联盟，可以组合成多少个三国联盟？

上海水磨工作室a2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于组合c计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数c（3，9）=9*8*7/3*2*1

上海水磨工作室排列、组合的概念和公式典型例题分析

上海水磨工作室例1设有3名学生和4个课外小组。

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

上海水磨工作室（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？

解

上海水磨工作室（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。

点评

上海水磨工作室由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。

例2排成一行

其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

上海水磨工作室解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画树图的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种。

点评

按照分类的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。

例3判断

下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。

（1）高三年级学生会有11人：

上海水磨工作室①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

上海水磨工作室②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给*乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析（1）

上海水磨工作室①由于每人互通一封信，*给乙的信与乙给*的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；

②由于每两人互握一次手，*与乙握手，乙与*握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）。

上海水磨工作室（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积。

上海水磨工作室（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

例4*。

*左式

右式。

等式成立。

点评这是一个排列数等式的*问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的*质，可使变形过程得以简化。

例5化简。

解法一原式

解法二原式

上海水磨工作室点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的*质；解法二选用了组合数的两个*质，都使变形过程得以简化。

例6解方程：（1）；（2）。

解（1）原方程

解得。

（2）原方程可变为

上海水磨工作室原方程可化为。

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1。掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题。

2。理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的*质，并能用它们解决一些简单的问题。

3。掌握二项式定理和二项式系数的*质，并能用它们计算和论*一些简单问题。

二、知识结构

上海水磨工作室三、知识点、能力点提示

（一）加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据。

第2篇：高二数学排列组合的知识点

上海水磨工作室1。排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p（n，m）表示。

p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n!/（n—m）!（规定0!=1）。

2。组合及计算公式

上海水磨工作室从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c（n，m）表示。

c（n，m）=p（n，m）/m!=n!/（（—m）!*m!）；c（n，m）=c（n，n—m）；

3。其他排列与组合公式

上海水磨工作室从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p（n，r）/r=n!/r（n—r）!。

上海水磨工作室n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，。。。nk这n个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*。。。*nk!）。

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k—1，m）。

排列（pnm（n为下标，m为上标））

上海水磨工作室pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；pnm=n!/（n—m）!（注：!是阶乘符号）；pnn（两个n分别为上标和下标）=n!；0!=1；pn1（n为下标1为上标）=n

上海水磨工作室组合（m（n为下标，m为上标））

m=pnm/pmm；m=n!/m!（n—m）!；n（两个n分别为上标和下标）=1；1（n为下标1为上标）=n；m=n—m

2008—07—0813：30

公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列。公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列。n—元素的总个数r参与选择的元素个数!—阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从n倒数r个，表达式应该为n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；

因为从n到（n—r+1）个数为n—（n—r+1）=r

举例：

q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

a1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于排列p计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9—1种可能，个位数则应该只有9—1—1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=p（3，9）=9*8*7，（从9倒数3个的乘积）

q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表三国联盟，可以组合成多少个三国联盟？

上海水磨工作室a2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于组合c计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数c（3，9）=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组。

上海水磨工作室（1）每名学生都只参加一个课外小组；

上海水磨工作室（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？

解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。

上海水磨工作室（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。

点评

由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。

例2排成一行

其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画树图的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种。

点评

按照分类的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。

例3判断

上海水磨工作室下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

上海水磨工作室（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

上海水磨工作室（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：

上海水磨工作室①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

上海水磨工作室①从中选出2盆分别给*乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析（1）

上海水磨工作室①由于每人互通一封信，*给乙的信与乙给*的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；

②由于每两人互握一次手，*与乙握手，乙与*握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。

上海水磨工作室（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）。

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积。

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法。

例4*。

*左式

右式。

等式成立。

点评这是一个排列数等式的*问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的*质，可使变形过程得以简化。

上海水磨工作室例5化简。

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的*质；解法二选用了组合数的两个*质，都使变形过程得以简化。

例6解方程：（1）；（2）。

解（1）原方程

解得。

（2）原方程可变为

上海水磨工作室原方程可化为。

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

上海水磨工作室一、考纲要求

1。掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题。

2。理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的*质，并能用它们解决一些简单的问题。

3。掌握二项式定理和二项式系数的*质，并能用它们计算和论*一些简单问题。

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

上海水磨工作室（一）加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据。

第3篇：高二数学排列组合的知识点归纳

排列组合公式/排列组合计算公式

排列p------和顺序有关

组合c-------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序，组合不分

上海水磨工作室例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列

把5本书分给3个人，有几种分法组合

1.排列及计算公式

上海水磨工作室从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.

p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

上海水磨工作室c(n，m)表示.

c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);

3.其他排列与组合公式

上海水磨工作室从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.

上海水磨工作室n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).

排列(pnm(n为下标，m为上标))

pnm=n(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n

上海水磨工作室组合(m(n为下标，m为上标))

上海水磨工作室m=pnm/pmm;m=n!/m!(n-m)!;n(两个n分别为上标和下标)=1;1(n为下标1为上标)=n;m=n-m

上海水磨工作室公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列。公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列。n-元素的总个数r参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

上海水磨工作室从n倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r

举例：

上海水磨工作室q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

a1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于排列p计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=p(3，9)=9*8*7，(从9倒数3个的乘积)

q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表三国联盟，可以组合成多少个三国联盟?

上海水磨工作室a2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于组合c计算范畴。

上海水磨工作室上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数c(3，9)=9*8*7/3*2*1

上海水磨工作室排列、组合的概念和公式典型例题分析

上海水磨工作室例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

上海水磨工作室解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法.

上海水磨工作室(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.

上海水磨工作室点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算.

上海水磨工作室例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种?

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画树图的方式逐一排出：

符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分类的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.

上海水磨工作室(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信?②每两人互握了一次手，共握了多少次手?

上海水磨工作室(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?

(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积?

上海水磨工作室(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给*乙两人每人一盆，有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?

分析(1)①由于每人互通一封信，*给乙的信与乙给*的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手，*与乙握手，乙与*握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.

(1)①是排列问题，共用了封信;②是组合问题，共需握手(次).

上海水磨工作室(2)①是排列问题，共有(种)不同的选法;②是组合问题，共有种不同的选法.

(3)①是排列问题，共有种不同的商;②是组合问题，共有种不同的积.

上海水磨工作室(4)①是排列问题，共有种不同的选法;②是组合问题，共有种不同的选法.

例4*.

*左式

右式.

等式成立.

点评这是一个排列数等式的*问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的*质，可使变形过程得以简化.

例5化简.

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的*质;解法二选用了组合数的两个*质，都使变形过程得以简化.

例6解方程：(1);(2).

解(1)原方程

解得.

(2)原方程可变为

∵，，

原方程可化为.

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的*质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的*质，并能用它们计算和论*一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

上海水磨工作室(一)加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习上海水磨工作室排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.