教学目标
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算*质．
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其*质，能根据*质进行相应的根式计算．
上海水磨工作室(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
(3)能利用有理指数运算*质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要*，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
教学建议
教材分析
上海水磨工作室（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算*质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．
（2）由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的，而次根式，次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．
上海水磨工作室（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算*质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．
教法建议
（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：
①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．
②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．
③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出?即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成?，写成?即谁的?次方等于?，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．
（2）在?次方根的定义中并没有将?次方根符号化原因是结论的多样*，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对?次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．
教学设计示例
课题根式
教学目标：
1．理解?次方根和?次根式的概念及其*质，能根据*质进行简单的根式计算．
2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
教学重点难点：
重点是?次方根的概念及其取值规律．
上海水磨工作室难点是?次方根的概念及其运算根据的研究．
教学用具：投影仪
教学方法：启发探索式．
教学过程：
一.复习引入
今天我们将学习
上海水磨工作室新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．
上海水磨工作室下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?
以?为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，?称为幂．
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．?．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出?及?，同时追问这里?的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念
2．5指数(板书)
上海水磨工作室1.关于整数指数幂的复习
(1)概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算*质．可以找一个学生说出相应的运算*质，教师用投影仪依次打出：
(2)运算*质：?;?;?．
上海水磨工作室复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．
2.根式(板书)
如
上海水磨工作室如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即?，求?
问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4有个名字叫16的平方根．
再如
知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
(根据情况教师可再适当举几个例子，如?，要求学生用语言描述式子的含义，i再说出结果分别为?和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上，提出即一个数的?次方等于?，求这个数，即开?次方，那么这个数叫做?的?次方根．
上海水磨工作室(1)?次方根的定义：如果一个数的?次方等于?(?，那么这个数叫做?的?次方根．
(板书)
上海水磨工作室对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．
由学生翻译为：若?(?，则?叫做?的?次方根．(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的?的?次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对?的?次方根的取值规律的研究．
(2)?的?次方根的取值规律：(板书)
先让学生看到的?次方根的个数是由?的奇偶*决定的，所以应对?分奇偶情况讨论当?为奇数时，再问学生?的?次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对?的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按?的正负分为三种情况．Ⅰ当?为奇数时，?的?次方根为一个正数;，?的?次方根为一个负数;，?的?次方根为零．(板书)当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明?为偶数时的结论，再由学生总结归纳Ⅱ当?为偶数时，?的?次方根为两个互为相反数的数;的?次方根不存在;的次方根为零．对于这个规律的总结，还可以先看?的正负，再分?的奇偶，换个角度加深理解．有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述?次方根了．
(3)?的?次方根的符号表示(板书)
上海水磨工作室可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当?为奇数时，由于无论?为何值，?次方根都只有一个值，可用统一的符号?表示，此时要求学生解释符号的含义：?为正数，则?为一个确定的正数，?为负数，则?为一个确定的负数，?为零，则?为零．
上海水磨工作室当?为偶数时，?为正数时，有两个值，而?只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成?，其含义为?为偶数时，正数的?次方根有两个分别为?和?．
上海水磨工作室为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：?一定表示一个正数吗??中的?一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结?．对于符号?，当?为偶数是，它有意义的条件是?;当?为奇数时，它有意义的条件时?．
把?称为根式，其中?为根指数，?叫做被开方数．(板书)
(4)根式运算的依据(板书)
上海水磨工作室由于?是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．
如?应该得什么?有学生讲出理由，根据?次方根的定义，可得Ⅰ?=?．(板书)
上海水磨工作室再问：?应该得什么?也得?吗?
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如?吗??吗?让学生能发现结果与?有关，从而得到Ⅱ?=?．(板书)
上海水磨工作室为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
三．巩固练习
例1.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
上海水磨工作室要求学生口答，并说出简要步骤．
四．小结
1．?次方根与?次根式的概念
上海水磨工作室2．二者的区别
3．运算依据
五．作业略
六．板书设计
上海水磨工作室2．5指数(2)取值规律(4)运算依据
1.复习
2.根式(3)符号表示例1
(1)定义
第2篇：数学教案:指数函数教案
教学目标：
1.进一步理解指数函数的*质;
2.能较熟练地运用指数函数的*质解决指数函数的平移问题;
教学重点：
指数函数的*质的应用;
教学难点：
指数函数图象的平移变换.
教学过程：
一、情境创设
1.复习指数函数的概念、图象和*质
上海水磨工作室练习：函数y=ax(a0且a1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为.若a1，则当x0时，y1;而当x0时，y1.若00时，y1;而当x0时，y1.
上海水磨工作室2.情境问题：指数函数的*质除了比较大小，还有什么作用呢?我们知道对任意的a0且a1，函数y=ax的图象恒过(0，1)，那么对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢?
二、数学应用与建构
例1解不等式：
(1);(2);
(3);(4).
小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数*质的运用，关键是底数所在的范围.
例2说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1);(2);(3);(4).
小结：指数函数的平移规律：y=f(x)左右平移y=f(x+k)(当k0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移y=f(x)+h(当h0时，向上平移，反之向下平移).
练习：
(1)将函数f(x)=3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象.
(2)将函数f(x)=3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象.
上海水磨工作室(3)将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是.
上海水磨工作室(4)对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是.函数y=a2x-1的图象恒过的定点的坐标是.
上海水磨工作室小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口!定点与单调*相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口.
上海水磨工作室(5)如何利用函数f(x)=2x的图象，作出函数y=2x和y=2|x2|的图象?
(6)如何利用函数f(x)=2x的图象，作出函数y=|2x-1|的图象?
上海水磨工作室小结：函数图象的对称变换规律.
上海水磨工作室例3已知函数y=f(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)=1-2x，试画出此函数的图象.
例4求函数的最小值以及取得最小值时的x值.
上海水磨工作室小结：复合函数常常需要换元来求解其最值.
练习：
上海水磨工作室(1)函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于;
上海水磨工作室(2)函数y=2x的值域为;
(3)设a0且a1，如果y=a2x+2ax-1在[-1，1]上的最大值为14，求a的值;
上海水磨工作室(4)当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，求实数a的取值范围.
三、小结
上海水磨工作室1.指数函数的*质及应用;
2.指数型函数的定点问题;
3.指数型函数的草图及其变换规律.
四、作业：
上海水磨工作室课本p55-6，7.
五、课后探究
(1)函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数的定义域为.
(2)对于任意的x1，x2r，若函数f(x)=2x，试比较的大小.
第3篇：指数的数学教案
教学目标
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算*质．
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其*质，能根据*质进行相应的根式计算．
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
(3)能利用有理指数运算*质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要*，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
上海水磨工作室3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
教学建议
教材分析
（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算*质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．
（2）由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的，而次根式，次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．
上海水磨工作室（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算*质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．
教法建议
上海水磨工作室（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：
上海水磨工作室①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．
上海水磨工作室②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．
上海水磨工作室③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成，写成即谁的次方等于，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．
（2）在次方根的定义中并没有将次方根符号化原因是结论的多样*，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．
教学设计示例
课题根式
教学目标：
1．理解次方根和次根式的概念及其*质，能根据*质进行简单的根式计算．
2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
上海水磨工作室3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
教学重点难点：
上海水磨工作室重点是次方根的概念及其取值规律．
难点是次方根的概念及其运算根据的研究．
教学用具：投影仪
教学方法：启发探索式．
教学过程（）：
一.复习引入
上海水磨工作室今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．
下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?
以为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，称为幂．
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念
2．5指数(板书)
上海水磨工作室1.关于整数指数幂的复习
(1)概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算*质．可以找一个学生说出相应的运算*质，教师用投影仪依次打出：
(2)运算*质：;;．
复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．
2.根式(板书)
如
如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即，求?
问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4有个名字叫16的平方根．
再如
上海水磨工作室知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
上海水磨工作室(根据情况教师可再适当举几个例子，如，要求学生用语言描述式子的含义，i再说出结果分别为和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
上海水磨工作室在以上几个式子会解释的基础上，提出即一个数的次方等于，求这个数，即开次方，那么这个数叫做的次方根．
(1)次方根的定义：如果一个数的次方等于(，那么这个数叫做的次方根．
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．
上海水磨工作室由学生翻译为：若(，则叫做的次方根．(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的的次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究．
上海水磨工作室(2)的次方根的取值规律：(板书)
先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶*决定的，所以应对分奇偶情况讨论
上海水磨工作室当为奇数时，再问学生的次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按的正负分为三种情况．
Ⅰ当为奇数时
上海水磨工作室，的次方根为一个正数;
，的次方根为一个负数;
，的次方根为零．(板书)
当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论，再由学生总结归纳
Ⅱ当为偶数时
上海水磨工作室，的次方根为两个互为相反数的数;
上海水磨工作室，的次方根不存在;
上海水磨工作室，数学教案－指数
数学教案－指数,
，的次方根为零．
上海水磨工作室对于这个规律的总结，还可以先看的正负，再分的奇偶，换个角度加深理解．
上海水磨工作室有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述次方根了．
(3)的次方根的符号表示(板书)
可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当为奇数时，由于无论为何值，次方根都只有一个值，可用统一的符号表示，此时要求学生解释符号的含义：为正数，则为一个确定的正数，为负数，则为一个确定的负数，为零，则为零．
当为偶数时，为正数时，有两个值，而只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成，其含义为为偶数时，正数的次方根有两个分别为和．
上海水磨工作室为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：一定表示一个正数吗?中的一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号，当为偶数是，它有意义的条件是;当为奇数时，它有意义的条件时．
上海水磨工作室把称为根式，其中为根指数，叫做被开方数．(板书)
(4)根式运算的依据(板书)
上海水磨工作室由于是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．
如应该得什么?有学生讲出理由，根据次方根的定义，可得Ⅰ=．(板书)
再问：应该得什么?也得吗?
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如吗?吗?让学生能发现结果与有关，从而得到Ⅱ=．(板书)
为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
三．巩固练习
例1.求值
(1)．(2)．
(3)．(4)．
(5)．(
上海水磨工作室要求学生口答，并说出简要步骤．
四．小结
上海水磨工作室1．次方根与次根式的概念
2．二者的区别
3．运算依据
五．作业略
六．板书设计
上海水磨工作室2．5指数(2)取值规律(4)运算依据
1.复习
2.根式(3)符号表示例1
(1)定义